Có bao nhiêu giá trị thực dương của \(a\) sao cho phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} - 2a = 0\) có nghiệm phức \({z_0}\) với phần ảo khác 0 thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = \sqrt 3 \

Ta có \(\Delta = 3 - 4\left( {{a^2} - 2a} \right) = 3 - 4{a^2} + 8a.\)

Phương trình \({z^2} + \sqrt 3 z + {a^2} - 2a = 0\) có nghiệm phức khi và chỉ khi

\(\Delta < 0 \Leftrightarrow 3 - 4{a^2} + 8a < 0 \Leftrightarrow 4{a^2} - 8a - 3 > 0\quad (*)\)

Khi đó phương trình có hai nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai số phức liên hợp của nhau và \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|.\)

Ta có: \({z_1}{z_2} = {a^2} - 2a \Rightarrow \left| {{z_1}{z_2}} \right| = \left| {{a^2} - 2a} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - 2a = 3}\\{{a^2} - 2a = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{a = 3}\end{array}\,} \right.} \right.\) (TMĐK (*)).

Các giá trị của \(a\) thỏa mãn điều kiện \((*).\)

Vậy có 1 giá trị dương \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1.