Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = e^f(x) - m.3^f(x)

Ta có .

Suy ra \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) \cdot \left[ {{e^{f\left( x \right)}} - m \cdot {3^{f\left( x \right)}}\ln 3} \right] = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 0}\\{{e^{f\left( x \right)}} - m \cdot {3^{f\left( x \right)}} l n 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \left\{ { - 2\,;\,\,0\,;\,\,2} \right\}}\\{m \cdot \ln 3 = {{\left( {\frac{e}{3}} \right)}^{f\left( x \right)}}}\end{array}f\left( x \right) = {{\log }_{\frac{e}{3}}}\left( {m \cdot \ln 3} \right)} \right.} \right.\].

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(x) = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {m \cdot \ln 3} \right)\) có 4 nghiệ\(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) \cdot {e^{f\left( x \right)}} - m \cdot f'\left( x \right) \cdot {3^{f\left( x \right)}}\ln 3\)m đơn phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \( - 3 < {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {m \cdot \ln 35} \right) \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{e}{3}} \right)}^5}}}{{\ln 3}} < m < \frac{{{{\left( {\frac{e}{3}} \right)}^{ - 3}}}}{{\ln 3}}\).

Suy ra \(0,556 < m < 1,223\) mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\)nên \(m = 1.\) Chọn B.