Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y=x^2+8ln2x-mx đồng biến trên

12/150

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\) đồng biến trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)?\)

Giải thích

Tập xác định \(D = \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\). Ta có \(y' = 2x + \frac{8}{x} - m\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) khi \(y' \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le 2x + \frac{8}{x}\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\).

Đặt \(f(x) = 2x + \frac{8}{x}\), có \(f'(x) = 2 - \frac{8}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2}}},f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Bảng biến thiên

\(x\)	0	2	\( + \infty \)
\(f'\left( x \right)\)	\( - \)	0 +
\(f\left( x \right)\)	\( + \infty \)		\( + \infty \)
		8

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) khi \(m \le 8\) hay \[m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}\].

Vậy có 8 giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.