Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = (x ^2 + 5 x + m^ 2 + 6)/( x + 3) đồng biến trên khoảng ( 1 ; + ∞ ) .

11/22

Có bao nhiêu giátrị nguyên dương của m để hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 5x + {m^2} + 6}}{{x + 3}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].

\(4\).

\(5\).

\(9\).

\(3\).

Giải thích

Ta có \[y' = \frac{{{x^2} + 6x + 9 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\].

Hàm số đồng biến trên \[\left( {1; + \infty } \right)\] khi và chỉ khi

\[y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow {m^2} \le {x^2} + 6x + 9,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow {m^2} \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} g\left( x \right)\]

Xét hàm \(g\left( x \right) = {x^2} + 6x + 9\) liên tục trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\]

Ta có \[g'\left( x \right) = 2x + 6 > 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\] nên \[g\left( x \right) \ge g\left( 1 \right) = 16,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\].

Do đó \[{m^2} \le 16 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\] (do \(m\) là số nguyên).