Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x + 3 ) + f ( x^ 3 − 4 x + m ) = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt?

Đáp án: \[3\].

Hàm số \(y = f(x) = {2024^x} - {2024^{ - x}} + x + \sin x\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và

\(f( - x) = {2024^{ - x}} - {2024^x} - x - \sin x =  - f(x)\)

, suy ra \(f(x)\) là hàm số lẻ.

Mặt khác, \(y' = f'(x) = {2024^x}.\ln 2024 + {2024^{ - x}}.\ln 2024 + 1 + \cos x > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó, \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó, phương trình

\[f(x + 3) + f\left( {{x^3} - 4x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow f(x + 3) =  - f\left( {{x^3} - 4x + m} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f(x + 3) = f\left( { - {x^3} + 4x - m} \right) \Leftrightarrow x + 3 =  - {x^3} + 4x - m\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 3 =  - m\]

Đặt \[g(x) = {x^3} - 3x + 3 \Rightarrow g'(x) = 3{x^2} - 3\].

Ta có \[g'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \[g(x) = {x^3} - 3x + 3\] tại 3 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow 1 <  - m < 5 \Leftrightarrow  - 5 < m <  - 1\).

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thoả đề.