Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=(x^3-6x^2-m)^2 có đúng 5 điểm cực trị?

Ta có \(y = {\left( {{x^3} - 6{x^2} - m} \right)^2}\)\( \Rightarrow y' = 2 \cdot \left( {3{x^2} - 12x} \right) \cdot \left( {{x^3} - 6{x^2} - m} \right)\left( {{{\left( {{u^2}} \right)}^\prime } = 2u \cdot u'} \right)\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 12x = 0}\\{{x^3} - 6{x^2} - m = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0\,;\,\,x = 4}\\{m = {x^3} - 6{x^2} = f\left( x \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m = f\left( x \right)\) có ba nghiệm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) \Rightarrow  - 32 < m < 0.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 31\,;\,\, - 30\,;\,\, - 29\,;\,\, \ldots \,;\,\, - 1} \right\}.\)

Đáp án: 31.