Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( m − 1 ) x^ 3 − ( m − 1 ) x^ 2 + 3 x + 2024 đồng biến trên tập xác định?

Đáp số: \(10\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3 \ge 0,\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

TH1: \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\). Khi đó \[y' \ge 0\]\( \Leftrightarrow 3 \ge 0\) luôn đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(m = 1\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

TH2: \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\).

Khi đó \(3\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3 \ge 0\),\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 9\left( {m - 1} \right) \le 0\\a = m - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le m \le 10\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 10\)(thoả mãn)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).

Vậy có tất cả \(10\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.