Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hai bất phương trình x(x + 4) ≥ x^2 + m + 1 và (x − 1)(x + 3) ≤ x^2 − 2x + m có đúng một nghiệm nguyên chung là 100?

Đáp án đúng là: D

Giải bất phương trình:

⦁ \(x\left( {x + 4} \right) \ge {x^2} + m + 1\)

\({x^2} + 4x \ge {x^2} + m + 1\)

\(4x \ge m + 1\)

\(x \ge \frac{{m + 1}}{4}\).

⦁ \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) \le {x^2} - 2x + m\)

\({x^2} + 2x - 3 \le {x^2} - 2x + m\)

\(4x \le m + 3\)

\(x \le \frac{{m + 3}}{4}\).

Do đó, ta được nghiệm chung là \(\frac{{m + 1}}{4} \le x \le \frac{{m + 3}}{4}.\)

Ta có: \(\frac{{m + 3}}{4} - \frac{{m + 1}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} < 1\) nên từ \(\frac{{m + 1}}{4} \le x \le \frac{{m + 3}}{4}\) chỉ có thể tối đa một số nguyên \(x\).

Như vậy, để hai bất phương trình có đúng một nghiệm nguyên chung là 100 thì:

\(\frac{{m + 1}}{4} \le 100 \le \frac{{m + 3}}{4}\)

\(m + 1 \le 400 \le m + 3\)

\(397 \le m \le 399\)

Vì tham số \(m\) nguyên nên \(m\) nhận 3 giá trị là 397, 398 và 399.