Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) = x 4 − x 2 + 2020 f 2 ( x ) − 2 ( m + 1 ) . f ( x ) + 5 ( 2 m − 3 ) có đúng 6 đường tiệm cận.

Đáp án: 1

Điều kiện : \[{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right) \ne 0\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ne 5\\f\left( x \right) \ne 2m - 3\end{array} \right.\]

+) Tiệm cận ngang:

Vì  là đa thức bậc \[3\] nên \[{f^2}\left( x \right)\] là đa thức bậc \[6\], do đó

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{{x^4} - {x^2} + 2020}}{{{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right)}} = 0\]\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[y = 0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[g\left( x \right)\].

+) Tiệm cận đứng:

Ta có: \[{x^4} - {x^2} + 2020 > 0{\rm{ ,}}\forall x \in \mathbb{R}\].

\[{f^2}\left( x \right) - 2\left( {m + 1} \right).f\left( x \right) + 5\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 5\\f\left( x \right) = 2m - 3\end{array} \right.\].

Dựa vào đồ thị, ta thấy phương trình \[f\left( x \right) = 5\] có \[2\] nghiệm. Suy ra, đồ thị có \[2\] tiệm cận đứng.

Do đó:

Đồ thị hàm số có đúng \[6\] tiệm cận.

\[ \Leftrightarrow \]\[f\left( x \right) = 2m - 3\] có \[3\] nghiệm phân biệt .

\[ \Leftrightarrow 1 < 2m - 3 < 5 \Leftrightarrow 2 < m < 4\].

\[ \Rightarrow m = 3\] (vì \[m\]là số nguyên).