Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ − 2024 ; 2024 ] để hàm số y = √ x 2 + 1 − m x − 1 đồng biến trên R

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Có \(y = \sqrt {{x^2} + 1}  - mx - 1 \Rightarrow y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\).

Theo yêu cầu bài toán: \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m \ge 0{\rm{, }}\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) với \[x \in \mathbb{R}\]. Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} \left( {{x^2} + 1} \right)}} > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).

Bảng biến thiên

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow m \le  - 1\) mà \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\) nên có 2024 giá trị nguyên.