Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ − 2024 ; 2024 ] để đồ thị hàm số y = x^ 3 − 3 m x + 3 và đường thẳng y = 3 x + 1 có duy nhất một điểm chung?

Trả lời : \(2024\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} - 3mx + 3 = 3x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 3mx\)\( \Leftrightarrow 3m = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x}\) (1) (Do \(x = 0\)không là nghiệm của phương trình).

Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x} = {x^2} - 3 + \frac{2}{x}\); \(f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên.

Khi đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m < 0\). Mà \(m\) nguyên và \(m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\) nên có \(2024\) giá trị thỏa mãn.