Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ − 8 ; 8 ] để hàm số y = ∣ ∣ x 3 − 3 ( m + 2 ) x ^2 + 3 m ( m + 4 ) x + 5 ∣ ∣ đồng biến trên khoảng ( 1 ; 3 ) ?

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3m\left( {m + 4} \right)x + 5\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 3m\left( {m + 4} \right) = 3\left[ {{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m\left( {m + 4} \right)} \right]\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 4.\end{array} \right.\)

Để hàm số \(\left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì ta có \(3\) trường hợp

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ge 0\\3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} + 9m \ge 0\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 3\).

Vì \(m\)nguyên và \(m \in \left[ { - 8;8} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \le 0\\m \le 1 < 3 \le m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} + 9m \le 0\\ - 1 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le 0\\ - 1 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0\).

Vì \(m\)nguyên và \(m \in \left[ { - 8;8} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).

Trường hợp 3: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ge 0\\m + 4 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} + 9m \ge 0\\m \le  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3\).

Vì \(m\)nguyên và \(m \in \left[ { - 8;8} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}\).

Có tất cả \(14\) giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 8;8} \right]\) thoả mãn yêu cầu bài toán.