Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P)?

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

\(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và \[y = mx + {m^2} - \frac{1}{2}.\]

Suy ra \( - \frac{1}{2}{x^2} = mx + {m^2} - \frac{1}{2}\) hay x² + 2mx + 2m² – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆' = m² – 1.(2m² – 1) = m² – 2m² + 1 = 1 – m².

Để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là ∆' ≥ 0, hay 1 – m² ≥ 0 nên m² – 1 ≤ 0.

Giải bất phương trình:

m² – 1 ≤ 0

(m – 1)(m + 1) ≤ 0

Suy ra m – 1 ≤ 0 và m + 1 ≥ 0 (do m – 1 < m + 1)

Do đó m ≤ 1 và m ≥ –1

Hay –1 ≤ m ≤ 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–1; 0; 1}.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

</>