Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình mx - y = 2m; 4x - my = m + 6 có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x^2 = y^2?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\frac{{\rm{m}}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - {\rm{m}}}}\) suy ra m² ≠ 4 suy ra m ≠ 2 và m ≠ –2.

Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có y = mx – 2m.

Thay y = mx – 2m vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 4x – m(mx – 2m) = m + 6 nên x(–m² + 4) + 2m² = m + 6 nên \({\rm{x}} = \frac{{2{{\rm{m}}^2} - {\rm{m}} - 6}}{{{{\rm{m}}^2} - 4}} = \frac{{\left( {2{\rm{m}} + 3} \right)\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}}{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)\left( {{\rm{m}} + 2} \right)}} = \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}\).

Với \({\rm{x}} = \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}\) thì \({\rm{y}} = {\rm{m}} \cdot \frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}} - 2{\rm{m}} = \frac{{2{{\rm{m}}^2} + 3{\rm{m}} - 2{{\rm{m}}^2} - 4{\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}}\).

Để x² = y² thì \({\left( {\frac{{2{\rm{m}} + 3}}{{{\rm{m}} + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{ - {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 2}}} \right)^2}\)

(2m + 3)² – m² = 0

(2m + 3 – m)(2m + 3 + m) = 0

(m + 3)(3m + 3) = 0

m + 3 = 0 hoặc 3m + 3 = 0

m = –3 (thỏa mãn) hoặc m = –1 (thỏa mãn).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.