Có bao nhiêu cặp số nguyên \[\left( {x\,;\,\,y} \right)\] thõa mãn \(0 \le x \le 2021\) và \({\log _2}(4x + 4) + x = y + 1 + {2^y}?\) Đáp án: ……….

Ta có: \({\log _2}\left( {4x + 4} \right) + x = y + 1 + {2^y} \Leftrightarrow {\log _2}4 + {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x = y + 1 + {2^y}\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = {2^y} + {\log _2}{2^y} \Leftrightarrow f(x + 1) = f\left( {{2^y}} \right) \Leftrightarrow x + 1 = {2^y} \Leftrightarrow x = {2^y} - 1\)

Với \(0 \le x \le 2021\) thì \(0 \le {2^y} - 1 \le 2021 \Leftrightarrow {2^0} \le {2^y} \le 2022 \Leftrightarrow 0 \le y \le {\log _2}2022 \approx 10,98\).

Mà với mỗi \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z}\) nên có 11 cặp nguyên \[\left( {x\,;\,\,y} \right)\] thỏa mãn bài toán.

Đáp án: 11.