Có bao nhiêu cặp số nguyên (a;b) thoả mãn a<5 và hàm số f(x) = ax^4+bx^3+x^2 -3

• Với \(a = b = 0\) thoả mãn.

• Với \(a = 0\,;\,\,b \ne 0\) hàm bậc 3 không tồn tại min, \(\max \) (không thoả mãn)

• Với \(a < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - \infty \) nên không tồn tại min \(f(x)\) (loại) \( \Rightarrow a > 0\)

Ta có \(f(0) =  - 3 \Rightarrow \) Để hàm số thoả mãn yêu cầu thì \(f\left( x \right) \ge  - 3\,;\,\,\forall x \ne 0.\)

\( \Leftrightarrow a{x^4} + b{x^3} + {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {a{x^2} + bx + 1} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow a{x^2} + bx + 1 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \Delta  = {b^2} - 4a \le 0 \Leftrightarrow {b^2} \le 4a\)

• Với \(a = 1 \Rightarrow  - 2 \le b \le 2\) có 5 cặp.         • Với \(a = 2 \Rightarrow  - 2 \le b \le 2\) có 5 cặp.

• Với \(a = 3 \Rightarrow  - 3 \le b \le 3\) có 7 cặp.         • Với \(a = 4 \Rightarrow  - 4 \le b \le 4\) có 9 cặp.

Vậy tổng cộng có 27 cặp \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thoả mãn.

Đáp án: 27.