Có 5 giá trị nguyên dương để hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ; + ∞ )

14/22

Cho hàm số$y = 2{x^3} - 6{x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + m$. Khi đó:

a) Có 5 giá trị nguyên dương để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

b) Có $2025$giá trị nguyên của $m \in \left[ { - 2024;2024} \right]$ để hàm số có hai điểm cực trị.

c) Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$là $\left( { - \infty ;a} \right]$ lúc đó: $\left( { - \infty ;a} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \left( { - \infty ;2025} \right)$

d) Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$là $\left( { - \infty ;a} \right]$lúc đó, phương trình ${8^x} = a$ có nghiệm $x > 2$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].

ta có $y = 2{x^3} - 6{x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + m \Rightarrow $\[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m)\]

+ hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$khi và chỉ khi \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 36 - 12(2 - m) \le 0 \Leftrightarrow 12 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1.\]

Với $\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024; - 2023;...; - 1} \right\}$$ \Rightarrow $a sai

+ Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) = 0{\rm{ }}\]có hai nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 36 - 12(2 - m) > 0 \Leftrightarrow 12 + 12m > 0 \Leftrightarrow m > - 1.\]

Với$\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;...;2024} \right\}$$ \Rightarrow $b đúng

+Ta có \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m)\].

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi \[y' = 6{x^2} - 12x + 2(2 - m) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in (2; + \infty )\]

$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 - m \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$

$m \le 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$.

$f'\left( x \right) = 6x - 6$; $f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên:

$Cho hàm số$y = 2{x^3} - 6{x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + m$. Khi đó: a) Có 5 giá trị nguyên dương để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ (ảnh 1)$

Từ bảng biến thiên ta thấy để $m \le 3{x^2} - 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow $$m \le 2$. Vậy $m \in \left( { - \infty ;2} \right]$.

+ Có $\left( { - \infty ;a} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \left( { - \infty ;2} \right] \cap \left( {3;2025} \right) = \emptyset $$ \Rightarrow $c sai

+ phương trình ${8^x} = a \Leftrightarrow {8^x} = 2 \Leftrightarrow {2^{3x}} = 2 \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow d$sai