Có 25 chai rượu Vang Opus One đang đựng trong thùng A và thùng B , trong mỗi thùng đều có chai Vang thật và Vang giả ( các chai Vang đều giống nhau về mẫu mã

22/22

Có 25 chai rượu Vang Opus One đang đựng trong thùng \(A\) và thùng \(B\), trong mỗi thùng đều có chai Vang thật và Vang giả ( các chai Vang đều giống nhau về mẫu mã, chai Vang giả được chủ quán Bar đánh dấu để phân biệt) và số chai rượu ở thùng \(A\) nhiều hơn ở thùng \(B\). Biết khi lấy ngẫu nhiên ở mỗi thùng một chai Vang thì xác suất lấy được hai chai Vang thật là \(\frac{{65}}{{144}}\). Nhân viên quầy bar có \(P\) cách để xếp hết 25 chai Vang này lên kệ rượu thành một hàng ngang sao cho không có hai chai Vang giả nào được xếp kề nhau. Tính giá trị của \(\frac{P}{{12}}\).

Giải thích

Đáp án: 4199.

Gọi \(n\) là số chai rượu Vang trong thùng \(A\)

\( \Rightarrow \) số chai rượu Vang trong thùng \(B\) là \(25 - n\).

Gọi \(a,b\) lần lượt là số chai rượu Vang thật trong thùng \[A\]và thùng \(B\).

Xác xuất lấy mỗi thùng 1 chai rượu Vang thật \(P = \frac{a}{n}.\frac{b}{{25 - n}} = \frac{{65k}}{{144k}}\)

\( \Rightarrow n\left( {25 - n} \right) = 144k \Rightarrow k = \frac{{n\left( {25 - n} \right)}}{{144}}\).

Vì k là số nguyên dương \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 9\\n = 16\end{array} \right.\).

Vì thùng \(A\)nhiều hơn thùng \(B\) nên \(n = 16\)và \(k = 1\) \( \Rightarrow a.b = 65 = 13.5\).

\( \Rightarrow a = 13,b = 5\)(vì \(b < 9\)).

Như vậy: thùng \(A\) có 13 chai rượu thật và \(16 - 13 = 3\) chai rượu giả.

thùng \(B\) có 5 chai rượu thật và \(9 - 5 = 4\) chai rượu giả.

Sắp xếp 18 chai rượi thật thành 1 hàng ngang có \(1\) cách.

Gữa 18 chai rượu thật có 19 khảng trống, chọn ra 7 khoảng trống đặt 7 chai rượu giả vào 7 khoảng trống có \(C_{19}^7\).

Số cách \(T = 1.C_{19}^7 = 50388 \Rightarrow \frac{T}{{12}} = 4199\).