Chứng tỏ rằng phương trình 2 x^ 5 + a ( x^ 2 − 1 ) + 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi số thực a .

Xét hàm số \(f(x) = 2{x^5} + a\left( {{x^2} - 1} \right) + 1\). Ta có \(f(1) = 3 > 0,f( - 1) = - 1 < 0\).

Do \(f(x)\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \([ - 1;1]\). Do đó, theo tính chất của hàm liên tục, tồn tại ít nhất một điểm \(c \in [ - 1;1]\) sao cho \(f(c) = 0\). Nói cách khác, \(x = c\) là một nghiệm của phương trình đã cho.