Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr² + \(\frac{{2\pi rV}}{{\pi {r^2}}}\) = 2πr² + \(\frac{{2V}}{r}\), r > 0.

Ta có: S' = 2πr² – \(\frac{{2V}}{{{r^2}}}\) = \(\frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), khi đó chiều cao của hình trụ là

2.\(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.