Chứng minh với mọi n thuộc N*, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1 - căn bậc hai 2)^n lần lượt viết

+) Khi n = 1, ta có:

(1+2)1=1+2=1+1 . 2⇒ a₁ = 1, b₁ = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (1+2)k+1 viết được dưới dạng ak+1+bk+12, trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1} là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

(1+2)k=ak+bk2, vớia_k, b_k là các số nguyên dương.

Khi đó:

(1+2)k+1=(1+2)k1+2

=ak+bk21+2

=ak . 1+bk2 . 1+ak . 2+bk2.2

=ak+bk2+ak2+2bk

=ak+2bk+ak+bk2.

Vì a_k, b_k là các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì (1+2)n=an−bn2 với a_n, b_n là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì (1−2)n=cn−dn2với c_n, d_n là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Ta có: (1+2)n1−2n=1+21−2n=−1n

⇒an+bn2cn−dn2=−1n

⇒ancn−2bndn+bncn−andn2=−1n

⇒ancn−2bndn=−1n  1bncn−andn=0  2.

Từ (2) ta suy ra andn=bncn⇒ancn=bndn=k với k > 0 (vì a_n, b_n, c_n, d_n là các số nguyên dương)

⇒an=kcn, bn=kdn. Thế vào (1) ta được:

kcncn−2kdndn=−1n⇒kcn2−2dn2=−1n

⇒1  ⋮  k⇒k=1⇒a_n = c_n và b_n = d_n.

Vậy ta có điều phải chứng minh.