Chứng minh tứ giác P C M O nội tiếp và P O / / N D .

1) ⦁ Ta có \(PC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) nên suy ra \(PC \bot OC\)

Do đó \(\widehat {PCO} = 90^\circ \) nên \(\Delta PCO\) vuông tại \(C\)

Suy ra \(\Delta PCO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PO.\)

Như vậy, ba điểm \[P,\,\,C,\,\,O\] thuộc đường tròn đường kính \(PO.\) (1)

Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB\) nên \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) có \(OM\) là đường trung tuyến nên \(OM\) là đường cao của \(\Delta OAB\) suy ra \(OM \bot AB\) nên \(\widehat {OMP} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta PMO\) vuông tại \(M\)

Suy ra \(\Delta PMO\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PO.\)

Như vậy, ba điểm \(P,\,\,M,\,\,O\) thuộc đường tròn đường kính \(PO.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(P,\,\,C,\,\,M,\,\,O\) thuộc đường tròn đường kính \(PO.\)

Do đó tứ giác \(PCMO\) nội tiếp.

⦁ Ta có \(PC\) và \(PN\) là hai tiếp tuyến cắt nhau của đuờng tròn \(\left( O \right)\)

Suy ra \(OP\) là tia phân giác của góc \(\widehat {CON},\) do đó \(\widehat {COP} = \frac{1}{2}\widehat {CON}\)

Mà \(\widehat {CDN} = \frac{1}{2}\widehat {CON}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung của \(\left( O \right)).\)

Suy ra \(\widehat {CDN} = \widehat {COP}.\) Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên \(PO\,{\rm{//}}\,ND.\)