Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1): a) n + 5 và n + 6 .

a) Gọi ƯCLN\(\left( {n + 5,\,\,n + 6} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {n + 6} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

Do đó \(\left[ {\left( {n + 6} \right) - \left( {n + 5} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)

Vậy \(n + 5\) và \(n + 6\)là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi ƯCLN\(\left( {5n + 3,\,\,3n + 2} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

Từ \(\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \[3\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\] hay \(\left( {15n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

Từ \(\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(5\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {15n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \(\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)

Vậy \(5n + 3\) và \(3n + 2\) là hai số nguyên tố cùng nhau.