Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có n^3 + 5n chia hết cho 6

Ta có: n³ + 5n = n³ – n + 6n = n(n² – 1) + 6n

= n(n – 1)(n + 1) + 6n

Vì n là số nguyên dương nên suy ra:

Tích của ba số nguyên dương liên tiếp: n – 1; n; n + 1 chia hết cho 2 và 3

Nên n.(n – 1)(n + 1) chia hết cho 6.

Mà 6n chia hết cho 6 nên suy ra:

n(n – 1)(n + 1) + 6n chia hết cho 6.

Suy ra với mọi số nguyên dương ta luôn có n³ + 5n chia hết cho 6 (đpcm)