Chứng minh rằng với mọi m các phương trình sau luôn có nghiệm: (a) x^2+4mx−8m−4=0. (b) mx^2−4(m−1)x−8=0.

a) \({x^2} + 4mx - 8m - 4 = 0\)

Xét biệt thức \[\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - \left( { - 8m - 4} \right) = 4{m^2} + 8m + 4 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[m\].

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\).

Xét biệt thức \[\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m \cdot \left( { - 8} \right) = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 8m = 4{m^2} + 4 > 0\].

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta có \({m^2} \ge 0\) nên \[4{m^2} + 4 > 0\].

Do đó, với mọi \(m\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt hay phương trình luôn có nghiệm.