Chứng minh rằng tứ giác A D E F là hình chữ nhật.

a) Xét tứ giác \(ADEF\) có:

\(\widehat {FAD} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\)

\(\widehat {AFE} = 90^\circ \) (vì \(EF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\));

\(\widehat {ADE} = 90^\circ \) (vì \(ED\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\))

Vậy tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật.

b) Tam giác \(ABC\) vuông  có \(AE\) là đường trung tuyến nên \(AE = EB = EC = \frac{1}{2}BC\).

Suy ra tam giác \(AEC\) cân tại \(E\). Mà \(ED\) là đường cao của tam giác nên \(ED\) đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(D\) là trung điểm của \(AC\) .

Xét tứ giác \(AECK\) có \(D\) là trung điểm của \(AC\), \(EK\) và \(EK\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\).

Suy ra tứ giác \(AECK\) là hình thoi.

c) Vì tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật nên \(O\) là trung điểm của \(AE\).

Vì tứ giác \(AECK\) là hình thoi nên \(AK\,{\rm{//}}\,EC;\,\,AK = EC\)

Mà \(EC = EB\) do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AK\,{\rm{//}}\,EB;\,\,AK = EB\)

Suy ra tứ giác \(AKEB\) là hình bình hành. Khi đó, hai đường chéo \(AE,\,\,BK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(O\) là trung điểm của \(AE\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(BK\).

Suy ra ba điểm \(B,O,K\) thẳng hàng.

d) Ta có \(\Delta AME\) vuông tại \(E\) có \(MO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AE\) nên \(OM = \frac{1}{2}AE\)

Mà tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật nên \(FD = AE\). Do đó, \(OM = \frac{1}{2}FD\)

Xét \(\Delta FMD\) có \(MO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(FD\) và \(OM = \frac{1}{2}FD\) nên \(\Delta FMD\) vuông tại \(M\), suy ra \(\widehat {DMF} = 90^\circ .\)