Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d.

Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA+OB>a;  OC+OD>c

Do đó OA+OC+OB+OD>a+c hay AC+BD>a+c(1)

Chứng minh tương tự, ta được: AC+BD>d+b(2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

2AC+BD>a+b+c+d⇒AC+BD>a+b+c+d2

Xét các ΔABC và ΔADC ta có: AC<a+b;  AC<c+d

⇒2AC<a+b+c+d (3)

Tương tự có: 2BD<a+b+c+d(4)

Cộng từng vế của (3) và (4) được: 2AC+BD<2a+b+c+d

⇒AC+BD<a+b+c+d

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.