Chứng minh rằng phương trình x2 – 6x + 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:

= 32 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo hệ thức Viète ta có x₁ + x₂ = 6 và x₁x₂ = 1

Do x₁ là nghiệm của phương trình nên x₁² – 6x₁ + 1 = 0 nên x₁² = 6x₁ – 1

Suy ra \[\frac{{x_1^3 - 7x_1^2 + {x_1} - 6{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{x_1^3 - 6x_1^2 + {x_1} - x_1^2 - 6{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\]

\[ = \frac{{{x_1}(x_1^2 - 6{x_1} + 1) - 6{x_1} + 1 - 6{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\]

\[ = \frac{{ - 6({x_1} + {x_2}) + 1}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{ - 35}}{6}\]