Chứng minh rằng: ( P + 1 ) 2 ≤ 2 .

Hướng dẫn giải

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab\), do đó \(2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1\) (do \({a^2} + {b^2} = 1\))

Đặt \(x = a + b\), suy ra \(2ab = {x^2} - 1\).

Mặt khác \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) hay \(1 \ge {x^2} - 1\) suy ra \({x^2} \le 2\).

Ta có \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1\).

Do đó, \({\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2} \le 2\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} .\)