Chứng minh rằng nếu n + 1 và 2n + 1 (n ∈ N) đều là số chính phương thì n chia hết cho 24.

Hướng dẫn giải

Vì 2n + 1 là số chính phương. Mà 2n + 1 là số lẻ (do 2n là số chẵn)

Suy ra 2n + 1 chia cho 8 dư 1.

Do đó n chia hết cho 4.

Suy ra n + 1 là số lẻ

Nên n + 1 chia cho 8 dư 1.

Vậy n chia hết cho 8. (1)

Mặt khác:

2n + 1 + n + 1 = 3n + 2 chia cho 3 dư 2.

Do đó (n + 1) + (2n + 1) chia cho 3 dư 2.

Mà n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương lẻ

Suy ra n + 1 và 2n + 1 chia cho 3 dư 1.

Nên n chia hết cho 3. (2)

Từ (1) và (2) suy ra n đều chia hết cho cả 3 và 8.

Mà (3; 8) = 1 (3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau)

Vậy n chia hết cho 24.