Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để n2 + 2002 là số chính phương.

Để n² + 2002 là số chính phương thì n² + 2002 = a² (a là số tự nhiên khác 0)

⇒ a² − n² = 2002

⇒(a − n) (a + n) = 2002

Do 22002⋮2.

⇒(a − n) (a + n)⋮2 hay a – n⋮2 hoặc a + n⋮2 hoặc a − n và a + n đều chia hết cho 2

mà a – n − (a + n) = –2n ⋮2

⇒a − n và a + n cùng chẵn hoặc lẻ ⇒a − n; a + n đều chia hết cho 2

⇒ (a − n) (a + n)⋮4

Mà 2002 không chia hết cho 4, mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại n để n² + 2002 là số chính phương.