Chứng minh rằng hàm số f(x) = căn bậc 3 x^ 2 không có đạo hàm tại x = 0 nhưng có cực tiểu tại điểm x = 0.

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = - \infty .\)

       \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = + \infty .\)

Như vậy, hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại x = 0.

Với mọi x ≠ 0, f(x) > 0 = f(0) nên hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.