Chứng minh rằng E F / / A B .

a) Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy \(AB\) và \(CD\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\) Vì \(AB\,{\rm{//}}\,DM\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.\)\(\left( 1 \right)\) Vì \(AB\,{\rm{//}}\,MC\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả định lí

Thalès ta có \(\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.\)\(\left( 2 \right)\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(DM = MC.\)\(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\)\(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}},\) theo định lí Thalès đảo ta có \(EF\,{\rm{//}}\,AB.\)

b) Xét \(\Delta ADM\) có \(HE\,{\rm{//}}\,DM,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\)

Xét \(\Delta AMC\) có \(EF\,{\rm{//}}\,MC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{EF}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\]

Do đó \(\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{EF}}{{MC}},\) mà \(DM = MC\) nên \(HE = EF.\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(EF = FN.\) Suy ra \(HE = EF = FN.\)

c) Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(DM = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a, ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7,5}}{6} = \frac{5}{4}.\) Suy ra \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}.\)

Do đó \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.\)

Mà theo câu b, \[\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}\] nên \[\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{5}{9}.\]

Suy ra \(HE = \frac{5}{9}DM = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{{10}}{3}{\rm{\;cm}}.\)

Lại có \(HE = EF = FN\) (câu b) nên \(HN = 3HE = 3 \cdot \frac{{10}}{3} = 10{\rm{\;cm}}.\)

Vậy \(HN = 10{\rm{\;cm}}.\)