Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là và đường chuẩn là , trong đó Δ = b2 – 4ac.

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là MFdM,Δ=1 hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) ⇔x+b2a2+ax2+bx+c−1−Δ4a2=ax2+bx+c+1+Δ4a

⇔x+b2a2+ax2+bx+c−1−Δ4a2=ax2+bx+c+1+Δ4a2

⇔x+b2a2+4a2x2+4abx+4ac−1−Δ4a2=4a2x2+4abx+4ac+1+Δ4a2

⇔x+b2a2+4a2x2+4abx+4ac−1−b2+4ac4a2=4a2x2+4abx+4ac+1+b2−4ac4a2

⇔x+b2a2+4a2x2+4abx+b2−14a2=4a2x2+4abx+b2+14a2

⇔2ax+b2a2+2ax+b2−14a2=2ax+b2+14a2

⇔42ax+b2+2ax+b2−12=2ax+b2+12

⇔42ax+b2+2ax+b4−22ax+b2+1=2ax+b4+22ax+b2+1

⇔2ax+b4+22ax+b2+1=2ax+b4+22ax+b2+1.

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên MFdM,Δ=1 hay MF = d(M, Δ)

⇒x+b2a2+y−1−Δ4a2=y+1+Δ4a

⇒x+b2a2+y−1−Δ4a2=y+1+Δ4a2

⇒2ax+b2a2+4ay−1−Δ4a2=4ay+1+Δ4a2

⇒2ax+b2a2+4ay−1−b2+4ac4a2=4ay+1+b2−4ac4a2

⇒2ax+b2a2+4ay−4ac+b2−14a2=4ay−4ac+b2+14a2

⇒42ax+b2+4ay−4ac+b2−12=4ay−4ac+b2+12

⇒42ax+b2=4ay−4ac+b2+12−4ay−4ac+b2−12

⇒44a2x2+4abx+b2=44ay−4ac+b2

⇒4a2x2+4abx=4ay−4ac

⇒4ay=4a2x2+4abx+4ac

⇒y=ax2+bx+c.

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.