Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n thuộc N*: 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 +...+ q^n-1 = (1-q^n)/(1-q) (q khác 1)

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có q1 – 1 = q0 = 1 = 1−q1−q=1−q11−q. Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

1+q+q2+q3+q4+…+qk−1=1−qk1−q.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:1+q+q2+q3+q4+…+qk−1+q(k+1)−1=1−qk+11−q.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+q+q2+q3+q4+…+qk−1+q(k+1)−1

=1−qk1−q+q(k+1)−1=1−qk1−q+qk=1−qk+qk(1−q)1−q=1−qk+qk−qk+11−q=1−qk+11−q.

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.