Chứng minh rằng: D = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + ... +4^58 + 4^59 chia hết cho 21.
Giải thích
Ta có \[D = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{58}} + {4^{59}}\]
\[ = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4} + {4^5}} \right) + ... + \left( {{4^{57}} + {4^{58}} + {4^{59}}} \right)\]
\[ = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + {4^3} \cdot \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + ... + {4^{57}} \cdot \left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\]
\[ = 21 + {4^3} \cdot 21 + ... + {4^{57}} \cdot 21\]
\( = 21 \cdot \left( {1 + {4^3} + ...... + {4^{57}}} \right)\).
Vì \(21\,\, \vdots \,\,21\) nên \(21 \cdot \left( {1 + {4^3} + ...... + {4^{57}}} \right)\,\, \vdots \,\,21\).
Vậy \[D = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{58}} + {4^{59}}\] chia hết cho 21.