chứng minh rằng: C H^ 2 = A H ⋅ B H và xác định vị trí của C trên nửa đường tròn O để A M ⋅ B N đạt giá trị lớn nhất.

⦁Vì điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(\widehat {ACH} + \widehat {HCB} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta CHB\) vuông tại \(H,\) ta có: \(\widehat {HBC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra \(\widehat {ACH} = \widehat {HBC}.\)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CHB\) có: \(\widehat {AHC} = \widehat {CHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACH} = \widehat {CBH}.\)

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{CH}}{{BH}} = \frac{{AH}}{{CH}}\) hay \(C{H^2} = AH \cdot BH.\)

⦁ Xét \(\Delta OAC\) cân tại \(O\) (do \(OA = OC)\) nên \(\widehat {ACO} = \widehat {CAO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOC}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {AOC}\).

Lại có \(\widehat {AOC},\,\,\widehat {ABC}\) lần lượt là góc ở tâm, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {AOC} = 2\widehat {ABC}\) hay \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}.\)

Do đó \(\widehat {ACO} = 90^\circ - \widehat {ABC}\) suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACO}.\)

Vì \(d\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C\) nên \(OM \bot d\) tại \(C\)

Suy ra \(\widehat {ACM} + \widehat {ACO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ACM} = 90^\circ - \widehat {ACO}.\)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {ACM}.\) Mà \(\widehat {ACH} = \widehat {ABC}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {ACH}.\)

Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat {AMC} = \widehat {AHC} = 90^\circ ,\) \(AC\) là cạnh chung và \(\widehat {ACM} = \widehat {ACH}.\)

Do đó \(\Delta ACM = \Delta ACH\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AM = AH\) (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có \(\Delta BCN = \Delta BCH\) (cạnh huyền – góc nhọn) nên \(BN = BH\) (hai cạnh tương ứng).

Khi đó, \(AM \cdot BN = AH \cdot BH = C{H^2}.\)

Mà \(CH \le CO\) nên \(AM \cdot BN \le C{O^2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(CH = CO,\) tức là điểm \(H\) trùng điểm \(O,\) khi đó ta có \(CO \bot AB\) tại \(O\) nên điểm \(C\) là điểm chính giữa nửa đường tròn \(\left( O \right).\)

Vậy khi điểm \(C\) là điểm chính giữa nửa đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(AM \cdot BN\) đạt giá trị lớn nhất.