Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x

a) 9x² – 6x + 2 = (3x – 1)² + 1

Vì (3x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên (3x – 1)² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x

Vậy   9x² – 6x + 2 > 0 với mọi x.

b) x² + x + 1 = \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)

Vì \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0,\forall x\)

Vậy x² + x + 1 > 0 với mọi x.

c) 2x² + 2x + 1 = \(2\left( {{x^2} + x + \frac{1}{2}} \right) = 2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}\)

Vì \(2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên \(2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} > 0,\forall x\)

Vậy 2x² + 2x + 1 > 0 với mọi x.