Chứng minh rằng biểu thức P = (2y ‒ x)(x + y) + x(y ‒ x) ‒ 2y(x + 5y) ‒ 1 luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x và y.

Lời giải

Ta có:

P = (2y ‒ x)(x + y) + x(y ‒ x) ‒ 2y(x + 5y) ‒ 1

 = 2xy + 2y² ‒ x² ‒ xy +xy ‒ x² ‒ 2xy ‒ 10y² ‒ 1

 = (2xy – xy + xy – 2xy) + (2y² ‒ 10y²) + (‒ x² ‒ x²) – 1

 = ‒8y² ‒ 2x² ‒ 1.

Do với mọi giá trị của x, y ta có: x² ≥ 0, y² ≥ 0 nên‒ 2x² ≤ 0, ‒8y² ≤ 0

Suy ra ‒8y² ‒ 2x² ‒ 1≤ ‒1 với mọi giá trị của biến x, y.

Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x và y.