Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 2, ta có 1+12=32>43=2.22+1. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 2.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, nghĩa là có:1+12+13+⋯+1k>2kk+1.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: 1+12+13+⋯+1k+1k+1>2(k+1)(k+1)+1.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

1+12+13+⋯+1k+1k+1 > 2kk+1+1k+1=2k+1k+1=(2k+1)(k+2)(k+1)(k+2)=2k2+5k+2(k+1)(k+2)>2k2+4k+2(k+1)(k+2)=2(k+1)2(k+1)(k+2)=2(k+1)k+2=2(k+1)(k+1)+1.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.