Chứng minh rằng (ax+by)^2 ≤(a^2 +b^2)(x^2 +y^2).
Giải thích
Ta có \({(ax + by)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
\({(ax + by)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 0\)
\({a^2}{x^2} + 2abxy + {b^2}{y^2} - {a^2}{x^2} - {a^2}{y^2} - {b^2}{x^2} - {b^2}{y^2} \le 0\)
\(\left( {{a^2}{y^2} - 2abxy + {b^2}{x^2}} \right) \le 0\)
\({(ay - bx)^2}{\rm{ }} \ge 0\)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi \({\rm{ay}} = {\rm{bx}})\).
Áp dụng: \({(3x + 4y)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\); \({5^2} \le 25\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).
Do đó \({x^2} + {y^2} \ge 1\) (dấu "=" khi và chỉ khi \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) ).