Chứng minh rằng a √ a 2 + 8 b c + b √ b 2 + 8 a c + c √ c 2 + 8 a b ≥ 1 ∀ a , b , c > 0

Lời giải:

Đặt \(u = \frac{{bc}}{{{a^2}}},v = \frac{{ca}}{{{b^2}}},{\rm{w}} = \frac{{ab}}{{{c^2}}}\), BĐT quy về:

\(\frac{1}{{\sqrt {8u + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {8v + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {8{\rm{w}} + 1} }} \ge 1\)với uvw = 1.

Đặt \(\sqrt {8u + 1} \) = x, \(\sqrt {8v + 1} \) = y, \(\sqrt {8{\rm{w}} + 1} \) = z

Ta phải chứng minh xy + yz + zx ≥ xyz (*) với (x² – 1)(y² – 1)(z² – 1) = 512

Ta có: (x² – 1)(y² – 1)(z² – 1) = 512

x² + y² + z² + x²y²z² = 513 +  x²y² + y² z² +  x²z²

(*) trở thành:

 x²y² + y²z² +  x²z²  + 2xyz(x + y + z) ≥ x²y²z²

 x² + y² + z² + 2xyz(x + y + z) ≥ 513

Với BĐT AM-GM, điều đó hiển nhiên đúng:

Có: (8v +1)(8u + 1)(8w + 1) ≥ \(729\sqrt[9]{{{u^8}{v^8}{{\rm{w}}^8}}}\)= 729

Nên \(xyz = \sqrt {(8u + 1)(8v + 1)(8w + 1)}  \ge 729 = 27\)

và x² + y² + z² ≥ 3\(\sqrt[3]{{{{(xyz)}^2}}}\)= 3.9 = 27; a + b + c ≥ 9.