Chứng minh: Q I ⋅ Q M = Q B 2 và tính góc A P B .

⦁ Chứng minh \(QI \cdot QM = Q{B^2}.\)

Cách 1: Xét \(\Delta QDI\) và \(\Delta QMP\) có: \(\widehat {QDI} = \widehat {QMP} = 90^\circ \) và \(\widehat {MQP}\) là góc chung

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{QI}}{{QP}} = \frac{{QD}}{{QM}}\) nên \(QI \cdot QM = QD \cdot QP.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự, ta chứng minh được  (g.g). Từ đó suy ra: \(QD \cdot QP = Q{B^2}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(QI \cdot QM = Q{B^2}.\)

Cách 2: Xét \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) (do \(OA = OB)\) nên đường cao \(OD\) đồng thời là đường phân giác của tam giác, suy ra \(\widehat {AOQ} = \widehat {BOQ}.\)

Mà \(\widehat {AOQ},\,\,\widehat {BOQ}\) lần lượt là góc ở tâm chắn cung \(AQ,\,\,BQ\) của đường tròn \(\left( O \right)\) nên  

Lại có \(\widehat {QBA},\,\,\widehat {QMB}\) lần lượt là góc nội tiếp chắn cung \(AQ,\,\,BQ\) nên \(\widehat {QBA} = \widehat {QMB}\) hay \(\widehat {QBI} = \widehat {QMB}.\)

Xét \(\Delta QBI\) và \(\Delta QMB\) có: \(\widehat {MQB}\) là góc chung và \(\widehat {QBI} = \widehat {QMB}.\)

Do đó  (g.g). Suy ra: \(\frac{{QI}}{{QB}} = \frac{{QB}}{{QM}}\) hay \(QI \cdot QM = Q{B^2}.\)

⦁ Tính \(\widehat {APB}.\)

Xét \(\Delta OAD\) vuông tại \(D\) có \(OD = \frac{1}{2}OQ = \frac{1}{2}R\) (do \(D\) là trung điểm của \(OQ).\)

Ta có \(\cos \widehat {AOD} = \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {AOD} = 60^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOD} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \) (do \(OD\) là phân giác của \(\widehat {AOB}).\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {APB},\,\,\widehat {AOB}\) lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung \(AB\) nên \(\widehat {APB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ .\)