Chứng minh n^n > (n + 1)^(n - 1) với n thuộc N*, n lớn hơn bằng 2

+) Khi n = 2, ta có: 2² > (2 + 1)^{2 – 1} ⇔ 4 > 3.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý (k ≥ 2) mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)^{k + 1} > [(k+1) + 1]^{(k + 1) – 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k^k > (k + 1)^{k – 1}.

Suy ra:k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^{k – 1} . (k + 1)^{k + 1}

⇒ k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^2k

⇒ k^k . (k + 1)^{k + 1} > [(k + 1)²]^k

⇒ k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k² + 2k + 1)^k > (k² + 2k)^k = [k(k + 2)]^k = k^k . (k + 2)^k

⇒ (k + 1)^{k + 1} > (k + 2)^k = (k + 2)^{(k + 1) – 1}

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.