Chứng minh F M vuông góc với F I .

Ta có \(IA = IF\) nên \(\Delta IAF\) cân tại \(I.\) Suy ra \(\widehat {IAF} = \widehat {IFA}.\)    (1)

Vì tứ giác \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HEF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF).\) (2)

Chứng minh tương tự câu 1, ta cũng có tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \(M\) đường kính \(FC.\)

Do đó \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF).\) (3)

Ta có \(MF = MC\) nên \(\Delta MFC\) cân tại \(M.\) Suy ra \(\widehat {MCF} = \widehat {MFC}.\) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {MFC}.\)

Lại có \(\widehat {IFA} + \widehat {IFC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {MFC} + \widehat {IFC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {IFM} = 90^\circ \) nên \(FM \bot FI.\)