Chứng minh dãy số ( u n ) , với u n = 7 n + 5 5 n + 7 là một dãy số tăng và bị chặn.

Công thức \({u_n}\) được viết lại: \({u_n} = \frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}}\)

Xét hiệu số:\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left[ {5\left( {n + 1} \right) + 7} \right]}}} \right) - \left( {\frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}}} \right)\)

=24515n+7−15n+1+7>0   ∀n≥1 ⇒un+1>un

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số tăng.

Ta có: 0<15n+7≤112    ∀n≥1 ⇔0>−2455n+7≥−25 ⇔75>75−2455n+7≥75−25

\( \Leftrightarrow 1 \le {u_n} < \frac{7}{5}.\) Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn.

Kết luận \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng và bị chặn.