Chứng minh dãy số ( u n ) , với u n = 7 n + 5 5 n + 7 là một dãy số tăng và bị chặn.

Công thức \({u_n}\) được viết lại: \({u_n} = \frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}}\)

Xét hiệu số:\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left[ {5\left( {n + 1} \right) + 7} \right]}}} \right) - \left( {\frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}}} \right)\)

\( = \frac{{24}}{5}\left( {\frac{1}{{5n + 7}} - \frac{1}{{5\left( {n + 1} \right) + 7}}} \right) > 0{\rm{   }}\forall n \ge 1\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\).

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là dãy số tăng.

Ta có:\(0 < \frac{1}{{5n + 7}} \le \frac{1}{{12}}{\rm{    }}\forall n \ge 1\)\( \Leftrightarrow 0 > - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}} \ge - \frac{2}{5}\)\( \Leftrightarrow \frac{7}{5} > \frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}} \ge \frac{7}{5} - \frac{2}{5}\)

\( \Leftrightarrow 1 \le {u_n} < \frac{7}{5}.\) Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số bị chặn.

Kết luận \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng và bị chặn.