Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC. (ảnh 1)

a) Do D đối xứng với H qua đoạn AB nên ΔADHcân tại A

ΔADHcó AB là đường cao đồng thời là phân giác

⇒DAB^ = HAB^

Tương tự với ΔAHE ⇒ HAC^ = EAC^

Ta có :

DAE^ = DAH^ + HAE^ = 2.BAH^ + 2.HAC^ = 2.BAH^ + HAC^ = 2.90 = 180⇒ D, A, E thẳng hàng

Nhận thấy

ΔAHC đối xứng với ΔAEC qua đoạn thẳng AC ⇒AHC^ = AEC^ = 900 (1)

Tương tự , ta cũng có : BHA^ = BDA^ = 900 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BD // EC (do 2 góc trong cùng phía bù nhau)

b) Ta có : ΔBHA đồng dạng với ΔAHC

Suy ra tỷ lệ BHAH = AHHC⇔AH2 = BH . HC

Mà BH = BD , HC = CE

⇒AH2 = BD . CE

⇔4AH2 = 4BD . CE

⇔2AH2 = 4BD . CE (Do AD = AH = AE)

⇔DE2 = 4BD . CE.

c) Ta có: AD = AH (tính chất đối xứng), AH = AE (tính chất đối xứng)

Suy ra AD = AE mà A, D, E thẳng hàng nên A là trung điểm của DE.

Xét tam giác vuông ABC, vuông tại A, có:

1AH2=1AB2+1AC2=132+142=25144⇒AH=125

⇒AD=AE=AH=125

⇒ DE = 245 cm.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

tanABC^=ACAB=43⇒sinABC^=45⇒sinADH^=45

Xét tam giác DHE vuông tại H, có:

sinADH^=EHED=EH245=45⇒EH=9625⇒DH=7225

Vậy diện tích tam giác DEH là: 12DH.EH=12.9625.7225≈5,5 (đvdt).

Chứng minh đẳng thức : tan^2x - sin^2x = tan^2x . sin^2x