Chứng minh đẳng thức 4 / căn bậc hai 5- căn bậc hai 3

1) Ta có: \(\frac{4}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }} - \sqrt {12}  = \frac{{4\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}}{{5 - 3}} - 2\sqrt 3  = \frac{{4\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}}{2} - 2\sqrt 3 \)

\( = 2\sqrt 5  + 2\sqrt 5  - 2\sqrt 3  = 2\sqrt 5 .\)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

2) Với \(x > 0\)và \(x \ne 1\), ta có:

\(F = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}:\left[ {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]\]

\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{1}\)\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}.\)

Vậy \(F = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1.\)