Chứng minh D H = B K .Chứng minh tứ giác A H C K là hình bình hành.

12/26

Cho hình chữ nhật $ABCD$, kẻ $AH,CK$ vuông góc với $BD$ $\left( {H,\,\,K \in BD} \right)$.

a) Chứng minh $DH = BK$.

b) Chứng minh tứ giác $AHCK$ là hình bình hành.

c) Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H$. Chứng minh $DECB$ là hình thang cân.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chữ nhật $ABCD$, kẻ $AH,CK$ vuông góc với $BD$ $\left( {H,\,\,K \in BD} \right)$. a) Chứng minh $DH = BK$. (ảnh 1)$

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC$ và $AD\,{\rm{//}}\,BC.$

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta CKB$ vuông tại $K$ có:

$AD = BC$ và $\widehat {ADH} = \widehat {CBK}$ (so le trong của $AD\,{\rm{//}}\,BC).$

Do đó $\Delta AHD = \Delta CKB$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $DH = BK$ (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có $\Delta AHD = \Delta CKB$ (câu a) nên $AH = CK$.

Mặt khác: $AH \bot BD,\,\,CK \bot BD$ nên $AH\,{\rm{//}}\,CK$

Do đó tứ giác $AHCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Ta có: $AH = HE$ và $AH = CK$ nên $HE = CK$

Mà $HE\,{\rm{//}}\,CK$ ($AH\,{\rm{//}}\,CK$ và $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H$)

Do đó tứ giác $CKHE$ là hình bình hành. Suy ra $HK\,{\rm{//}}\,CE$ hay $BD\,{\rm{//}}\,CE$ (1)

Xét $\Delta ADE$ có $DH$ là đường cao, vừa là trung tuyến nên $\Delta ADE$ cân tại $D$

Do đó $DH$ là đường phân giác của $\Delta ADE$, nên $\widehat {ADB} = \widehat {EDB}$

Mà $\widehat {ADB} = \widehat {CBD}$ nên $\widehat {EDB} = \widehat {CBD}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra tứ giác $CEDB$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).